اقتصاد اطلاعاتی (۲)

آنالیز بازی
برای شروع، این متداول است كه برای هر نوع ریسك، مطلوبیت مورد انتظار یك بیمه نامه ی عمومی را تعریف كنیم. بنابراین، داریم:

و

این دو عبارت به ترتیب نشاندهنده ی مطلوبیت مورد انتظار برای بیمه نامه ی (B,p) مشتری با ریسك پایین و مشتری با ریسك بالا هستند.
دراینجا دو واقعیت زیر به سهولت استنتاج می شود:
واقعیت ها:
پیوسته، دیفرانسیلی، در(B,p) اكیداً مقعر هستند. همچنین در B به طور اكید افزایش می یابد و به طور اكید در p كاهش می یابد.
بزرگتر، برابر یا كوچكتر از است، كه این مسئله به این بستگی دارد كه B كمتر، برابر یا بزرگتر از L باشد.
برای تمام (B,p) ها، است.
مورد آخر اغلباً خاصیت نقطه ی تقاطع منفرد (single-crossing property) نامیده می شود. همانگونه كه از نام آن فهمیده می شود، این نام بر این دلالت دارد كه منحنی های بی تفاوتی (indifference curves) برای دو نوع مشتری نهایتاً در یك نقطه برخورد می كنند.
در شكل ۱ حقیقت a و c نشان داده شده است. مطابق با حقیقت c، نمودارهای بی تفاوتی با شیب تند، مربوط به مشتری با ریسك بالاست و نمودارهای یكنواخت تر مربوط به مشتری های با ریسك پایین است. بی تفاوتی مربوط به نرخ های نهایی جانشینی نشاندهنده ی این است كه شروع از یك بیمه نامه ی معین شروع می شود. در اینجا مشتری با ریسك پایین تمایل دارد تا یك كاهش در مزیت و تبدیل شدن آن به B^” از طریق یك كاهش درحق بیمه ی نسبت به مشتری با ریسك بالا، بدست آورد. در اینجا، كاهش مزیت برای مشتری با ریسك پایین، كمتر هزینه بر است زیرا او تمایل كمتری برای تصادف كردن، دارد.

شركت بیمه منفعت های مورد انتظار را ماكزیمم می كند. حال در موردی كه بداند مشتری با ریسك پایین است، او هر بیمه نامه ی (B,p) كه شرط را ارضا كند را قبول می كند؛ زیرا یك چنین بیمه نامه ای منجر به پدید آمدن منفعت مثبت می شود. به طور مشابه، اگر باشد، شركت بیمه نامه را رد می كند.
شكل ۲ نشاندهنده ی دو خط منفعت صفر برای شركت بیمه است. خط شامل آن دسته از بیمه نامه های (B,p) است كه منجر به ایجاد منفعت های مورد انتظار صفر برای شركت بیمه و در زمانی می شود كه مشتری بداند با ریسك پایین است. خط شامل آن دسته از بیمه نامه هایی است كه وقتی مشتری می داند كه با ریسك بالاست، موجب پدید آمدن منفعت های مورد انتظار صفر می شوند. این دو خط نقش مهمی در آنالیز ما ایفا می كنند. توجه كنید كه خط منفعت صفر با ریسك پایین دارای شیب و خط منفعت صفر با ریسك بالا دارای شیب ¯π است.
اكنون زمان خوبی است كه به عقب برگردیم و تعادل رقابتی برای موردی را مورد بررسی قرار دهیم كه در آن شركت بیمه می تواند نوع ریسك را شناسایی كند. در اینجا ما نشان می دهیم كه در تعادل رقابتی منحصربفرد، قیمت بیمه نامه ی كامل (كه در اینجا B=L است) برای مشتری با ریسك پایین، برابربا و برای مشتری با ریسك بالا برابربا است. این پی آمد در شكل ۴ نشان داده شده است. شركت بیمه برای هر مشتری كه بیمه نامه ی كامل خریداری می كند، منفعت صفر بدست می آورد و بر اساس واقعیت b، هر نمودار بی تفاوتی برای هر مشتری بر خط منفعت صفر مربوط به شركت بیمه، مماس است.
با بازگشت به بازی می بینیم كه ما شناسایی تعادل پی در پی را با مهیا نمودن قیدهای پایینی بر روی هر مطلوبیت مورد انتظار مشتری شروع كردیم (مشروط بر اینكه بوسیله ی طبیعت انتخاب شده باشد). توجه كنید كه بیشتر اعتقادات بدبینانه كه در یك شركت بیمه وجود دارد، این باشد كه شركت با مشتری با ریسك بالا مواجه شده است. در نیتجه، مطلوبیت های هر دو نوع مشتری بایستی در زیر این قید باشد تا بدین صورت میزان مطلوبیتی كه آنها می توانند بدست آورند، ماكزیمم شود (این مسئله زمانی رخ می دهد كه شركت بیمه اعتقاد داشته باشد با یك مشتری با ریسك بالا مواجه شده است. این مفهموم قیاس منطقی (lemma) بعدی است.

قیاس منطقی
بیایید را در یك تعادل پی در پی در نظر بگیریم. در اینجا و به ترتیب نشاندهنده ی مطلوبیت تعادلی مشتری با ریسك پایین و ریسك بالا می باشد. از این اطلاعات می فهمیم كه او به صورت طبیعی انتخاب شده است، پس:

و

كه در اینجا نشاندهنده ی مطلوبیت مشتری با ریسك بالا در تعادل رقابتی با اطلاعات كامل می باشد.
اثبات:
یك بیمه نامه ی (B,p) را در نظر بگیرید كه دربالای خط منفعت صفر در ریسك بالا قرار گرفته است بنابراین است. ما امیدواریم تا دلیل بیاوریم كه در تعادل، شركت بیمه باید این بیمه نامه را قبول كند.
برای دیدن این مسئله، توجه كنید كه با پذیرش آن، منفعت مورد انتظار شركت منفعت های معین خود یعنی β(B,p) را به صورت زیر ارائه می دهند:

در نتیجه، قبول كردن به طور قابل توجهی بهتر از رد كردن بیمه نامه است زیرا با رد كردن آن موجب ایجاد منعت صفر می شود. ما نتیجه گیری می كنیم كه تمام منفعت های(B,p) كه در بالای خط منفعت صفر با ریسك بالا، واقع شده اند، بوسیله ی شركت بیمه پذیرفته می شوند.
بنابراین، برای هر بیمه نامه ای كه شرط را ارضا می كند، مشتری با ریسك پایین (با پیشنهاد آن) می تواند مطلوبیت را تضمین كند و مشتری با ریسك بالا می تواند مطلوبیت را تضمین كند. بنابراین، به دلیل اینكه هر نوع از ریسك، مطلوبیت مورد انتظار در تعادل را ماكزیمم می كند، نابرابری های زیرباید برای مطلوبیت هایی كه معادله ی را ارضا می كنند، صدق كنند:
پیوستگیu_I و u_h بر این دلالت دارند كه
(p.1) و (p.2) باید در حقیقت برای تمام بیمه نامه هایی كه نامساوی را ارضا می كنند، حفظ شود و بنابراین (p.1) و (p.2) ممكن است دوباره به صورت زیر نوشته شوند:

اما (p.3) هم ارز ۱ است زیرا مطلوبیت در p در حال كاهش است و (p.4) هم ارز ۲ است زیرا دربین تمام بیمه نامه ها، بیمه نامه ی بهتری وجود ندارد. و این بیمه نامه میزان مطلوبیت مشتری با ریسك بالا را ماكزیمم می كند.
شكل ۳ قیاس منطقی اول را نشان داده است. یك نیتجه از این قیاس منطقی كه از شكل بدست می آید، این است كه مشتری با ریسك بالا باید بیمه نامه را در تعادل خریداری كند. این مسئله به دلیل این است كه بدون انجام این كار مطلوبیت او برابر با خواهد شد كه با مغایرت اكید ریسك، این مطللوبیت به طور اكید از u_h^c كمتر است (u_h^c یك مرز پایینی برای مطلوبیت تعادلی آن است).
مشابه حرف بالا را نمی توان برای مشتری با ریسك پایین گفت اگر چه این مسئله ظاهراً در شكل ۵ مشاهده می شود. ما شكل ۴ را برای مواردی رسم كرده ایم كه باشد، بنابراین، است. به هر حال، در مورد محتمل معادل كه است، ما معادله ی را داریم. در این مورد آخر، مشتری با ریسك پایین ممكن است در حالت تعادل بیمه نامه ای خریداریم نكند.
قیاس منطقی قبلی برای هر تعادل منتج شده، اعمال می شود. ما اكنون گروه تعادلی را به دو نوع تقسیم می كنیم: یكی در حال تفكیك و دیگری در حال ادغام.
یك تعادل وقتی تعالی درحال تفكیك است كه انواع مختلف مشتری ها، بیمه نامه های مختلف را پیشنهاد دهند. در این حالت، مشتری خود را از دیگران جدا می كند و این مشتری می تواند بوسیله ی شركت بیمه به عنوان مزیت تلقی شود. به طور عكس، یك تعادل وقتی در حال ادغام است كه هر دو نوع مشتری یك نوع بیمه نامه انتخاب كنند. در نتیجه، انواع مشتری با توجه به نوع بیمه نامه ای كه پیشنهاد داده اند، شناخته می شوند. به طور خلاصه باید گفت، ما تعاریف زیر را داریم:

تعاریف
تعادل علامت دهی جداشونده و ادغام شونده
یك تعادل پی در پی در استراتژی مطلق جداشونده نامیده می شود اگر باشد و درغیر این صورت، این تعادل ادغام شونده است.
با تنها دو نوع از مشتری های ممكنه، یك تعادل پی در پی در استراتژی مطلق یا جداشونده یا ادغام شونده هستند. بنابراین، برای ما تنها كافی است گروه های تعادلی جداشونده و ادغام شونده را شناسایی كنیم. ما با مورد قبلی شروع می كنیم.
تعادل جدا شونده
در تعادل جدا شونده، مشتری های با دو نوع ریسك می توانند بیمه نامه های مختلف را انتخاب كنند اگر، به صورت طبیعی انتخاب شوند و بر اساس این مسئله، شركت بیمه قادر به تشخیص آنها می باشند. بنابراین هر نوع از ریسك می توانند مشخصات دیگری را جعل كنند (این كار را انجام رفتار مشابه دیگری انجام می شود). نكته ی مفهوم كلیدی به چنگ آوردن آنها و سپس آن مشتری كه در گروه تعادل جداشونده قراردارد، دیگر رفتار فرد مقابل را تكرار نمی كند. بر اساس این ایده، ما می توانیم بیمه نامه هایی را شناسایی كنیم كه پیشنهاد شده اند و درتعادل پی در پی موجود در استراتژی جداشونده موجود به صورت زیر وجود دارند.
قضیه
شناسایی تعادل جداشونده
بیمه نامه های و به ترتیب بوسیله ی مشتری با ریسك پایین و بالا پیشنهاده شده اند و بوسیله ی شركت بیمه در برخی تعادل های جداشونده مورد قبول قرار می گیرد، اگر و تنها اگر
اثبات:
ابتدا فرض كنید كه موارد ۱ تا ۴ را ارضا می كنند. ما باید استراتژی σ(۰) و اعتقادات β(۰) را برای شركت بیمه، بسازیم به نحوی كه ارزیابی یك تعادل متوالی باشد. سپس این استراتژی به طور واضح جداشونده است. مشخصات زیر كافی می باشند:
با توجه به اعتقادات ,β(۰)، هر بیمه نامه كه غیر از ψ_I پیشنهاده شده است، در شركت بیمه این القا را ایجاد می كند كه با مشتری با ریسك بالا و احتمال واحد روبرو هستند. به عبارت دیگر، وقتی بیمه نامه ی ψ_I پیشنهاد شود، شركت بیمه این اطمینان را پیدا می كند كه با مشتری با ریسك پایین مواجه است. در نتیجه، اعتقادات شركت بیمه قانون Bayes را ارضا می كند.
علاوه بر این، با وجود این اعتقادات، استراتژی شركت بیمه منفعت های مورد انتظار خود را ماكزیمم می كند زیرا با توجه به آن استراتژی، شركت یك بیمه نامه را قبول می كند اگر و تنها اگر این بیمه نامه موجب ایجاد مزیت های مورد انتظار غیر منفی شود.
برای مثال، پیشنهاد شده مورد قبول است زیرا وقتی پیشنهاد می شود، موجب القا شدن این ایده به شركت بیمه می شود كه احتمال روبرو شدن با مشتری با ریسك پایین ۱ است. در نتیجه، منفعت های مورد انتظار شركت بیمه از بیمه نامه ی تأیید شده، برابر است كه با توجه به مورد ۲، یك منفعت غیر منفی است. به طور مشابه، پیشنهاد شده مورد قبول قرار می گیرد زیرا این مسئله به شركت بیمه القا می شود كه احتمال روبرو شدن با مشتری با ریسك بالا، برابر ۱ است. در این مورد، منفعت های مورد انتظار از پذیرش بیمه نامه برابر می باشد.

تمام بیمه های پیشنهاد شده ی دیگر (B,p) به شركت بیمه این مسأله را القا می كنند كه احتمال روبروشدن آنها با مشتری با ریسك بالا ۱ است. منفعت های مورد انتظار آنها از قبول یك چنین بیمه نامه هایی برابر است با . بنابراین، این بیمه نامه ها وقتی آنها به منفعت های غیر منفی مورد انتظار می رسند، به صورت صریح مورد قبول قرار می گیرند.
ما نشان دادیم كه در هر بیمه نامه ی معین (B,p) ، استراتژی شركت بیمه منفعت های مورد انتظار خود را ماكزیمم می كند. این مسئله هنوز نشان داده نشده است كه یك چگونه یك استراتژی معین شركت بیمه (هم مشتری و هم انتخاب بیمه نامه) می تواند میزان مطلوبیت آنها را ماكزیمم كند.
برای كامل كردن این بخش از اثبات، ما نشان می دهیم كه هیچ كدام از پیشنهادهای بیمه نامه ای منجر به پدید آمدن مطلوبیت بیش تر از ψ_I برای مشتری با ریسك پایین و مطلوبیت بیش تر از ψ_h برای مشتری با ریسك بالا نمی شود. توجه كنید كه به دلیل اینكه شركت بیمه بیمه نامه ی (۰,۰) را قبول می كند و این بیمه نامه هم ارز رد شدن آن بوسیله ی شركت بیمه است، هر دو مشتری می توانند مطلوبیت خود را با ارائه ی پیشنهاد مورد قبول بوسیله ی شركت بیمه، ماكزیمم كنند. بنابراین ما ممكن است توجه خود را به گروهی از چنین بیمه نامه هایی معطوف كنیم كه ما آنها را باA نشان می دهیم یعنی:

بنابراین، این كافی است كه نشان دهیم كه برای تمام و با ،
اما (P.1) از عبارت ۳ نتیجه می شود و (P.2) از عبارات ۱، ۳ و ۴ نتیجه می شود و چون بهترین مورد برای مشتری های با ریسك بالاست، این مورد بهتر از بیمه نامه های منصفانه نیست.
حال حالت عكس را در نظر بگیریم، بنابراین فرض كنید كه یك تعادل جداشونده برای مشتری با ریسك بالاست كه در آن بیمه نامه های تعادلی بوسیله ی شركت بیمه پذیرفته می شوند. ما باید نشان دهیم كه موارد ۱ تا ۴ صحیح هستند. ما هر كدام را یكی پس از دیگری در نظر می گیریم.
تعریف یك تعادل جداشونده نیازمند آن است كه باشد. برای دیدن اینكه رابطه ی برقرار است، قیاس منطقی بالا را بازخوانی كنید. با این كار این استدلال بدست می آید كه . حال به دلیل اینكه شركت بیمه این پیشنهاد را پذیرفته است، این شركت باید یك منفعت غیر منفی بدست آورد. از این رو، ما باید نامساوی را داشته باشیم زیرا در تعادل جداشونده، منفعت های شركت بیمه باید احتمال ۱ را برای مشتری با ریسك بالا و در نیتجه پیشنهاد تعادلی مشتری با ریسك بالا ایجاد می شود. اما همانگونه كه قبلاً استدلال كردیم، این دو نامساوی بر این دلالت دارند كه .
پیروی پیشنهاد مشتری با ریسك پایین، ، شركت بیمه احتمال ۱ را برای بوسیله ی قانون Bayes برای مشتری با ریسك پایین در نظر گرفته است. قبول این پیشنهاد سپس موجب می شود تا شركت بیمه به منفعت برسند. به دلیل اینكه شركت بیمه این پروپزال را بوسیله ی قضیه می پذیرد، این كمیت باید غیر منفی باشد.
این نتیجه از بخش ۱ قیاس منطقی بالا منتج می شود.
با توجه به استراتژی شركت بیمه ، این شركت بیمه نامه ی ψ_I را می پذیرد. به دلیل اینكه مطلوبیت تعادلی مشتری با ریسك بالا برابر است با ، ما باید نامساوی را داشته باشیم.
شكل ۵ بیمه نامه هایی را نشان می دهد كه از تعادل جداشونده ی قضیه ی بالا حاصل شده اند. مشتری با ریسك بالا بیمه نامه ی را بدست می آورد، كه باید در داخل ناحیه ی هاشور خورده ، قرار گیرند.
به ویژگی های ضروری گروه بیمه نامه های با ریسك پایین توجه كنید. هر كدام از آنها كه در بالای خط منفعت صفر در ریسك پایین قرار گرفته اند، مقبولیتی را در شركت بیمه ایجاد می كنند. این شركت ها فهمیده اند در بالای نمودار بی تفاوتی مشتری با ریسك بالا، این اطمینان حاصل می شود كه فرد با ریسك بالا، رفتار فرد با ریسك پایین را تقلید نمی كند و در زیر نمودارهای بی تفاوتی مطلوبیت u ̃_I برای مشتری با ریسك پایین در نظر گرفته می شود و بدین صورت اطمینان حاصل می شود كه این فرد قصد ندارد تا خود را به عنوان فرد با ریسك بالا نشان دهد.

قضیه بالا توجه را به تعادلی محدود كرده است كه در آن هر دو مشتری بیمه نامه های قابل قبولی پیشنهاد می دهند. با در نظر گرفتن قیاس منطقی بالا، این تنها یك محدودیت بر روی پیشنهاد بیمه نامه ی مشتری با ریسك پایین می باشد. وقتی است، یك تعادل جداشونده وجود دارد كه در آن پیشنهاد مشتری با ریسك پایین در تعادل رد می شود. به هر حال، از شما درخواست شده است تا در عمل نشان دهید ناحیه ی هاشورخورده كه در شكل ۵ نشان دهید كه هر یك از این تعادل ها نتیجه ی هم ارزی برخی از تعادل های جداشونده ای است كه در آن پیشنهاد مشتری با ریسك پایین، مقبول می باشد. در نهایت، فردی می تواند نشان دهد كه ناحیه ی هاشورخورده كه در شكل ۵ نشان داده شده است، همواره غیر تهی است، حتی وقتی است. این نیازمند استفاده از این حقیقت است كه است. در نتیجه، یك تعادل جداشونده ی در استراتژی مطلق همواره وجود دارد.
حال كه ما بیمه نامه هایی را كه در تعادل جداشونده وجود دارند را شناسایی كرده ایم، می توانیم اثر پیشنهادات بیمه نامه ای در حال پذیرش به عنوان علامتی از ریسك، ارزیابی كنیم. توجه كنید كه به دلیل اینكه تعادل جداشونده همواره وجود دارد، پیشنهادات بیمه نامه ای در حال پذیرش به عنوان علامت هایی در مورد ریسك عمل می كنند كه همواره مؤثر می باشند. در واقع این علامت ها امكان ایجاد تمایز میان مشتری با ریسك بالا و پایین را فراهم می آورد.
به عبارت دیگر، نیازی به بهبود بیشتر بهره وری وجود ندارد. برای مثال، وقتی ، یك تعادل جداشونده وجود دارد كه در آن مشتری با ریسك پایین بیمه نامه ی بی اثر(۰,۰) را دریافت می كند و مشتری با ریسك بالا بیمه نامه ی (L, L) را. و این تنهال مشتری با ریسك بالاست كه بیمه می شود. علاوه بر این، این مسئله موجب باقیماندن یك خروجی تعادلی می شود، صرفنظر از این احتمال كه مشستری، یك مشتری با ریسك بالاست! بنابراین، حضور یك سیب بد، حتی با احتمال پایین، می تواند هنوز هم موجب تباه شدن خروجی در زمانی شود كه تعادل رقابتی تحت اطلاعات نامتقارن (درجاییكه سیگنال دهی ممكن نباشد) باشند.
علارغم وجود تعادل(یك تعادلی ناكافی) در مدلی كه بدون سیگنال دهی است، وقتی سیگنال دهی وجود داشته باشد، همواره تعادلی وجود دارد كه در آن مشتری با ریسك پایین برخی پوشش های بیمه ای را دریافت می كند. یكی از این بیمه نامه ها كه برای مشتری های با ریسك پایین خوب و برای مشتری های با ریسك بالا بد است، بیمه نامه ای را برای مشتری با ریسك پایین مهیا می كند كه در شكل ۷ با ¯(ψ_I ) نشان داده شده است.
به دلیل اینكه مشتری با ریسك بالا در هر تعادل جداشونده ای، بیمه نامه ی یكسان را دریافت می كند و بنابراین مطلوبیت یكسانی دریافت می كند، خروجی تعادلی در تعادل جداشونده، یك كارآمدی پاراتو (Pareto efficient) است و همواره موجب منفعت صفر برای شركت بیمه می شود. این خروجی در شكل ۶ نشان داده شده است. البته در این شكل به احتمالی توجه نشده است كه در آن مشتری یك مشتری با ریسك پایین است. بنابراین، هر جایی كه تنها تعادل رقابتی تحت اطلاعات غیر متقارن هیچ بیمه نامه ای برای برای مشتری با ریسك پایین ارائه ندهد، مشتری با ریسك پایین می تواند بیمه نامه دریافت كند و بهره وری بازار می تواند در زمانی بهبود یابد كه سیگنال دهی ممكن باشد.
ما اكنون توجهات را به سمت گروه دوم از تعادل معطوف می كنیم.